Macchine matematiche

Il primo punto di questo breve resoconto del percorso sulla matematica realizzato nella scuola primaria parte da un’esperienza per noi rivelatrice.
Quattordici anni fa mi venne assegnata una quarta, nella provincia di Terni, dove avrei dovuto insegnare matematica. Una parte dei bambini e delle bambine della classe sapevano eseguire una divisione, una moltiplicazione, un’addizione, una sottrazione, ma non avevano un’idea precisa del perché queste operazioni si eseguissero in quel modo, e nessuna consapevolezza della ragione dei passaggi necessari per eseguirle (per esempio, a cosa corrispondesse concettualmente l’azione dell’abbassare una cifra durante una divisione).
Gli era stato richiesto, fino a quel momento, un apprendimento mnemonico e ripetitivo delle sequenze, senza che fossero stimolati a comprendere cosa stavano effettivamente facendo. La stessa cosa avveniva con la geometria: chi aveva una buona memoria aveva buoni voti, bastava ripetere che l’area del trapezio è base maggiore più base minore per altezza diviso due e tutto andava bene.
Il grande sforzo, nei due anni di scuola che seguirono, fu di trasformare, come dice il matematico francese David Bessis, la matematica in un’avventura alla ricerca di noi stessi, del nostro essere matematici senza a volte neanche accorgercene.
Riferendoci alle scoperte di Emma Castelnuovo, che per noi costituisce un riferimento fondamentale, e al lavoro sulle creazioni matematiche sviluppate da Paul Le Bohec, cominciammo a lavorare su materiali strutturati che mettessero in evidenza la relazione esistente tra le formalizzazioni matematiche e la realtà dentro la quale tutti ci muoviamo. Alla fine della quinta, una bambina scrisse: «Adesso non posso dire con sicurezza di amare la matematica, ma quantomeno non ne ho più paura».
In questa breve sequenza di azioni messe in campo nell’arco di cinque anni di scuola in due classi della primaria di Terni, anche se non abbiamo lo spazio per dettagliare ogni passaggio, proveremo a restituire il senso di quanto abbiamo detto fino ad ora.
Si parte dal presupposto che i bambini, quando arrivano in prima, hanno già delle idee, delle conoscenze e delle sapienze funzionali sulla matematica che di solito vengono messe da parte per insegnargli “la vera matematica”.
Ma cosa succede se, invece di metterle da parte, le si chiama in causa? Le loro sapienze entrano subito in gioco. Si va in giro per il giardino, per vedere se ci sono cose che si possono contare, mettere insieme, misurare in qualche modo; associamo, avvalendoci della loro esperienza pregressa, i numeri alle cose. Una bambina di prima propone di raccogliere sassi e dipingerli, e poi contarne il maggior numero possibile. Contro l’idea che in prima si possa arrivare a contare al massimo fino a 10 o a 20, tutta la classe si cimenta a contare fino a dove riesce, andando ben oltre e collegando in modo istintivo la scrittura del numero alla quantità.

A scuola siamo forniti di una certa quantità di sferette di legno e di palline da ping-pong. Abbiamo chiesto a ogni famiglia di farci avere un porta-uova di cartone da 10 uova. Questo semplice accoppiamento di materiali diventa la base per giocare ad aggiungere, a levare, a moltiplicare, a dividere, associando azioni concrete alle operazioni e ai simboli delle operazioni. I bambini realizzano che ogni porta-uovo contiene dieci sfere così come dieci sono le dita delle mani. Arriviamo così alla scoperta della decina, la struttura base della numerazione da noi adoperata.
Tra la fine della prima e l’inizio della seconda, iniziamo a scoprire tanti modi possibili di rappresentare le unità, le decine, le centinaia:

1. prendiamo dei fagioli e dei sacchetti trasparenti: i fagioli presi singolarmente rappresentano le unità, i sacchetti più piccoli con dentro dieci fagioli rappresentano le decine, e i sacchetti più grandi che contengono 100 fagioli rappresentano le centinaia.

2. Una struttura simile la possiamo creare adoperando dei sassi colorati e invece dei sacchetti delle scatole trasparenti di plastica di diversa grandezza. Oppure delle decorazioni natalizie, che consistono in fili molto lunghi composti da perline argentate di plastica dura. Le singole perline sono le unità, mentre le decine sono rappresentate da fili di dieci perline, e le centinaia di fili da cento.

Adoperando opportunamente questi materiali si possono visualizzare in modo funzionale tutti i tipi e tutte le fasi delle operazioni, compresi i riporti e gli abbassamenti delle cifre, e avere una percezione precisa delle quantità messe in gioco durante i vari passaggi.
In modo analogo procediamo con la geometria: i bambini giocano liberamente con aste di legno, che si possono impernare tra di loro con dei ferma-campione creando forme geometriche. Le caratteristiche delle figure scoperte attraverso il gioco sono poi raccontate al gruppo. Il passaggio successivo consiste quasi sempre nel formalizzare le caratteristiche scoperte e associare a ogni figura e caratteristica i nomi e le definizioni adoperati in matematica. Dopo averle create, i bambini disegnano le figure sul quaderno, prima ricalcandole e poi cercando di realizzarle con i righelli e le matite e i compassi.

Uno dei lavori più amati è quello di cercare, durante le passeggiate, le forme che hanno scoperto nel paesaggio intorno.
La geometria inoltre viene messa in rapporto con la creatività.
Con i bambini, dalla prima alla quinta, si intraprende un viaggio nella storia dell’arte partendo da Klee, Mondrian, giungendo allo studio delle leggi della prospettiva, scoprendo che le discipline sono profondamente intrecciate tra loro.
Un giorno, mettendo insieme le nostre esperienze nel progettare e costruire giocattoli, realizziamo la prima macchina delle sottrazioni, con un piano inclinato e delle biglie. Lungo il piano inclinato, sul quale vengono collocate le biglie, sono scritti i numeri da 1 a 50, anche se si possono realizzare delle macchine delle sottrazioni con più numeri. I numeri sono sistemati in modo tale che è possibile visualizzare subito la quantità delle biglie sistemate senza contarle. Alla fine del piano inclinato è sistemato uno sportellino che, se viene aperto, permette alle biglie di scivolare in un recipiente. Un altro attrezzo importante è un piccolo coltellino di compensato con il quale si può bloccare la caduta delle biglie. Se si vuole fare, per esempio, 34 -18, si sistemano 34 biglie sullo scivolo e con il piccolo coltellino si bloccano quelle prima del 18: così, quando si apre lo sportello, nel recipiente cadranno 18 biglie; quindi si chiude lo sportellino, si toglie il coltellino, e le biglie si sistemeranno sul risultato della sottrazione automaticamente (34 – 18 = 16). Sullo scivolo rimarranno, appunto, 16 biglie. Lo scivolo può essere adoperato anche per tutte le altre operazioni, tra le quali le divisioni viste come sottrazioni ripetute.

Tra la seconda e la terza cominciamo anche a utilizzare la bilancia di Emma Castelnuovo, un oggetto con il quale si può lavorare sulle equivalenze, sulla tavola pitagorica e sulla geometria, adoperando pesetti che si agganciano tra di loro.
La bilancia è fatta in modo tale che al punto di equilibrio è associato lo zero, mentre andando verso destra e sinistra della bilancia sono sistemati degli occhielli a vite, tutti alla stessa distanza e ai quali sono associati i numeri da 1 a 10. Vengono adoperati dei pesetti di uguali dimensione e grandezza che possono essere agganciati agli occhielli e possono essere anche agganciati tra di loro, uno sotto l’altro. Se per esempio su un braccio della bilancia vengono sistemati due pesetti, uno sul numero 6 e uno sul numero 3, per avere l’equilibrio si dovrà sistemare un pesetto sull’altro braccio sul numero 9, che è il risultato dell’addizione 6 + 3 = 9. Si possono eseguire anche le moltiplicazioni della tavola pitagorica sistemando più pesetti sullo stesso numero. Se per esempio si posizionano 7 pesetti sul 6 si starà eseguendo la moltiplicazione 6 x 7 = 42. Se mettiamo sull’altro braccio 4 pesetti sul 10 (quattro decine) e un pesetto sul 2 (due unità), si otterrà l’equilibrio della bilancia che ci indica che il risultato dell’operazione è giusta.
A partire da queste prime esperienze nasce, dai bambini e dalle bambine della classe guidata dalla maestra Pina Leporanico con la quale portiamo avanti questa ricerca, l’idea di progettare e realizzare delle macchine matematiche per rendere più chiare le loro idee e le loro scoperte.

Per esempio: in una quinta, giocando con le asticelle di legno, i bambini creano una figura formata da più di trenta lati che riempie la stanza e che ha a tutti gli effetti le sembianze di un cerchio. Alla vista di questa creazione, avvenuta autonomamente, un bambino afferma con sicurezza che «allora il cerchio è formato da infiniti lati». A partire da questa scoperta nasce l’idea di progettare e realizzare una macchina delle circonferenze per rendere chiare a tutti le caratteristiche del cerchio. I bambini e le bambine, dopo avere realizzato queste macchine, organizzano delle presentazioni articolate ad altre classi, delle vere e proprie conferenze partecipate.
In questo ragionare e ideare possibili soluzioni, i bambini e le bambine prendono possesso in modo sempre più profondo dei principali concetti matematici, e lo fanno divertendosi.
Un aspetto interessante, e secondo noi molto utile, è che questi oggetti, queste macchine, che in modo strutturato vengono adoperati per alimentare il percorso matematico, durante le pause vengono usati anche come giochi. Ed è proprio durante questi momenti che molto spesso accade che i bambini facciano nuove scoperte da portare all’attenzione della classe.
Il lavoro sulle macchine matematiche crea un contesto saturo di domande, di questioni aperte, di problemi da risolvere, evidenziando sempre la forte connessione tra le diverse discipline, dalla fisica all’arte e alla musica. E rende interessante anche viaggiare tra numeri, frazioni, operazioni, formule, muovendosi in direzione dello sviluppo di un pensiero matematico astratto che abbia fondamenta solide e concrete, costruite insieme passo dopo passo. Questo modo di procedere, affrontando il mondo da innumerevoli prospettive, permette ai bambini – e talvolta anche a noi insegnanti – di scoprire le molteplici possibilità di lettura che la matematica dà della realtà.

In una quinta, lavoriamo sull’area del cerchio. Provando e riprovando scopriamo che possiamo inscrivere il cerchio in un quadrato e che questo quadrato può essere diviso in quattro quadrati più piccoli uguali tracciando due assi.
Una bambina osserva che se calcoliamo il quadrato del raggio del cerchio in realtà stiamo calcolando l’area di uno dei quadratini e che per avere l’area del quadrato grande intero dovremmo moltiplicare l’area di un quadratino per quattro. Realizza anche che, siccome il cerchio inscritto è più piccolo del quadrato grande, allora dobbiamo moltiplicarlo per meno di 4, cioè per tre e qualcosa (il famoso pi greco che sempre di più prende corpo e significato). Tutti si trovano d’accordo su questo ragionamento. Mentre discutiamo della scoperta, uno dei bambini, che fino a quel momento non ha parlato, dice: «Maestro, credo di avere scoperto una cosa: se noi facciamo quattro cerchi piccoli dentro i quadratini, la somma dell’area di questi quattro cerchietti è uguale a quella del cerchio grande». È vero, e per me, maestro, è una scoperta alla quale non avevo mai pensato.